Dati FDM guidati da U

Jul 08, 2023

Rapporti scientifici volume 13, numero articolo: 9116 (2023) Citare questo articolo

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La soluzione efficiente delle equazioni alle derivate parziali (PDE) delle leggi fisiche è di interesse per molteplici applicazioni nell'informatica e nell'analisi delle immagini. Tuttavia, le tecniche convenzionali di discretizzazione del dominio per la risoluzione numerica di PDE come i metodi delle differenze finite (FDM) e degli elementi finiti (FEM) non sono adatte per applicazioni in tempo reale e sono anche piuttosto laboriose nell'adattamento a nuove applicazioni, soprattutto per i non esperti in matematica numerica. e modellazione computazionale. Più recentemente, approcci alternativi alla risoluzione delle PDE utilizzando le cosiddette reti neurali fisicamente informate (PINN) hanno ricevuto crescente attenzione a causa della loro diretta applicazione a nuovi dati e delle prestazioni potenzialmente più efficienti. In questo lavoro, presentiamo un nuovo approccio basato sui dati per risolvere la PDE 2D di Laplace con condizioni al contorno arbitrarie utilizzando modelli di deep learning addestrati su un ampio set di soluzioni FDM di riferimento. I nostri risultati sperimentali mostrano che sia i problemi di Laplace 2D diretti che quelli inversi possono essere risolti in modo efficiente utilizzando l'approccio PINN proposto con prestazioni quasi in tempo reale e una precisione media del 94% per diversi tipi di problemi ai limiti rispetto a FDM. In sintesi, il nostro solutore PINN PDE basato sul deep learning fornisce uno strumento efficiente con varie applicazioni nell'analisi delle immagini e nella simulazione computazionale di problemi relativi ai valori al limite fisico basati su immagini.

I rapidi progressi nell’imaging biomedico portano alla generazione di quantità di dati di immagine in continua espansione. In molte applicazioni, l'analisi delle immagini è principalmente limitata alla derivazione di descrittori quantitativi relativamente semplici di strutture mirate come colore, volume, area e forma. Tuttavia, le serie di immagini possono anche fornire informazioni più approfondite sulle proprietà fisiche e sul comportamento sottostanti che stanno dietro i cambiamenti dinamici delle strutture biologiche monitorate otticamente1,2,3.

In generale, una modellazione coerente basata sulla fisica richiede una soluzione numerica di un problema del valore al contorno (BVP) che è dato dall'equazione differenziale parziale (PDE) governante o dalla legge costitutiva (ad esempio, equazioni della meccanica del continuo, fluidodinamica, diffusione) e prescritto condizioni al contorno. Per questo compito, le tecniche convenzionali di discretizzazione dei domini come Differenza Finita (FDM)4, Elementi Finiti (FEM)5, Elementi Boundary (BEM)6 e metodi senza mesh7 sono state spesso utilizzate nel contesto delle applicazioni biomediche8,9. Le tecniche numeriche convenzionali, tuttavia, non sono adatte per applicazioni in tempo reale e richiedono inoltre competenze avanzate per l'adattamento a nuovi dati e obiettivi di ricerca. Per ridurre la richiesta computazionale sui risolutori numerici convenzionali, sono stati studiati diversi approcci tra cui surrogati10,11, riduzione dell'ordine del modello12,13,14,15,16,17 o tecniche multigriglia18,19,20. Sebbene questi metodi avanzati siano in grado di ridurre i costi computazionali, non catturano l’intero spettro di compiti computazionali, compresi i problemi in tempo reale, inversi e/o non lineari che non sono ancora affrontati in modo soddisfacente in molti ambiti interdisciplinari e, in particolare, biomedici. applicazioni. Negli ultimi anni, approcci alternativi alla risoluzione di BVP basati sulla fisica e sulle immagini utilizzando modelli di reti neurali basati sui dati hanno goduto di una crescente popolarità. Le cosiddette Reti Neurali Fisicamente Informate (PINN)21 addestrate su una grande quantità di dati rappresentativi imparano a dedurre relazioni fisiche complesse direttamente dai dati. Con una quantità sufficiente di dati disponibili, i PINN possono stabilire una mappatura tra i dati di input e quelli di output (ad esempio, immagini di origine e di destinazione) senza incorporare le leggi fisiche direttamente nelle reti neurali. Essendo in grado di superare uno dei maggiori oneri tecnici della modellazione numerica, una discretizzazione laboriosa e soggetta a errori di complessi domini spazio-temporali, i PINN promettono di colmare un divario tra dati di grandi dimensioni e una modellazione sofisticata basata su meccanismi con quasi tempo reale prestazione. Inoltre, lo spettro di applicabilità dei PINN copre non solo problemi diretti ma anche problemi inversi ancora più impegnativi dal punto di vista computazionale21,22,23,24,25,26. Negli ultimi anni sono stati segnalati molti approcci all'approssimazione basata sui dati dei meccanismi fisici utilizzando reti neurali profonde18,19,27,28,29,30 e lavori19,30 studiano il problema utilizzando le CNN. È noto che le reti neurali convoluzionali (CNN)31 mostrano prestazioni superiori rispetto ai metodi convenzionali e alle tecniche di reti neurali sparse, in particolare se applicate a problemi di visione artificiale che richiedono capacità cognitive di ordine superiore. Le piattaforme di codifica Deep Learning come Tensorflow, PyTorch e Keras sono nel frattempo ampiamente utilizzate nella comunità AI.